Showing that the sum of exponentials is gamma distributed using the fourier transform

I am trying to use the result that $p(omega)^n$ = Gamma(n, beta) where $p(omega)$ is the fourier transform of an $Exp(beta)$ distribution. My code does well for small n but as n increases the gamma starts to move across the domain faster. Here I have just set beta=1 for simplicity. I can not find the error in my code.

Note the mask is just to remove the horizontal Line artefact that often occurs after numerical fourier transforms.

I have pasted the code below.


`import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#DETERMINISTIC CASE 

n = 15   # Scaling factor for the Fourier transform
N = 1024     # Number of points
T = 0.01     # Sampling interval
shift_point = 100 # Desired center of the plot

# Discretize the PDF
x_values = np.linspace(xm, 100, N, endpoint=False)
pdf_values = expon.pdf(x_values, scale=1)

# Numerical Fourier Transform of the Pareto PDF
P_omega = np.fft.fft(pdf_values)
# Scale and account for deterministic number of sources 
exp_nP = P_omega**(n)

# Compute the full frequency array for IFT
full_exp_nP = np.concatenate([exp_nP, np.conj(exp_nP[::-1])])

# Inverse Fourier Transform
ift_result = np.fft.ifft(full_exp_nP)
ift_result=ift_result[::2]
# Plotting

#Remove all small values
mask = ift_result > 0.01
ift_result = ift_result[mask]
x = np.fft.fftfreq(N, T)[mask]


plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x, -np.abs(ift_result)/np.trapz(x, np.abs(ift_result)), label = "fourier then inverse fourier ")
plt.title('Inverse Fourier Transform of exp(n * P(w)) Centered at 100 for Pareto Distribution')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Amplitude')
plt.grid(True)
##TEST THE EXPONENTIAL DISTRIBUTION AS AN ALTENRATIVE TO THE PARETO. CHECKING HOW THE SUM OF EXPONENTIALS IS DISTRIBUTED. 

#GAMMA RV
x_gamma = np.arange(0, 50, 0.01)
y_gamma = gamma.pdf(x_gamma, n, scale=1)
plt.plot(x_gamma, y_gamma, label = "Gamma(n, beta)")
plt.legend()
plt.show()`

Trang chủ Giới thiệu Sinh nhật bé trai Sinh nhật bé gái Tổ chức sự kiện Biểu diễn giải trí Dịch vụ khác Trang trí tiệc cưới Tổ chức khai trương Tư vấn dịch vụ Thư viện ảnh Tin tức - sự kiện Liên hệ Chú hề sinh nhật Trang trí YEAR END PARTY công ty Trang trí tất niên cuối năm Trang trí tất niên xu hướng mới nhất Trang trí sinh nhật bé trai Hải Đăng Trang trí sinh nhật bé Khánh Vân Trang trí sinh nhật Bích Ngân Trang trí sinh nhật bé Thanh Trang Thuê ông già Noel phát quà Biểu diễn xiếc khỉ Xiếc quay đĩa Dịch vụ tổ chức sự kiện 5 sao Thông tin về chúng tôi Dịch vụ sinh nhật bé trai Dịch vụ sinh nhật bé gái Sự kiện trọn gói Các tiết mục giải trí Dịch vụ bổ trợ Tiệc cưới sang trọng Dịch vụ khai trương Tư vấn tổ chức sự kiện Hình ảnh sự kiện Cập nhật tin tức Liên hệ ngay Thuê chú hề chuyên nghiệp Tiệc tất niên cho công ty Trang trí tiệc cuối năm Tiệc tất niên độc đáo Sinh nhật bé Hải Đăng Sinh nhật đáng yêu bé Khánh Vân Sinh nhật sang trọng Bích Ngân Tiệc sinh nhật bé Thanh Trang Dịch vụ ông già Noel Xiếc thú vui nhộn Biểu diễn xiếc quay đĩa Dịch vụ tổ chức tiệc uy tín Khám phá dịch vụ của chúng tôi Tiệc sinh nhật cho bé trai Trang trí tiệc cho bé gái Gói sự kiện chuyên nghiệp Chương trình giải trí hấp dẫn Dịch vụ hỗ trợ sự kiện Trang trí tiệc cưới đẹp Khởi đầu thành công với khai trương Chuyên gia tư vấn sự kiện Xem ảnh các sự kiện đẹp Tin mới về sự kiện Kết nối với đội ngũ chuyên gia Chú hề vui nhộn cho tiệc sinh nhật Ý tưởng tiệc cuối năm Tất niên độc đáo Trang trí tiệc hiện đại Tổ chức sinh nhật cho Hải Đăng Sinh nhật độc quyền Khánh Vân Phong cách tiệc Bích Ngân Trang trí tiệc bé Thanh Trang Thuê dịch vụ ông già Noel chuyên nghiệp Xem xiếc khỉ đặc sắc Xiếc quay đĩa thú vị
Trang chủ Giới thiệu Sinh nhật bé trai Sinh nhật bé gái Tổ chức sự kiện Biểu diễn giải trí Dịch vụ khác Trang trí tiệc cưới Tổ chức khai trương Tư vấn dịch vụ Thư viện ảnh Tin tức - sự kiện Liên hệ Chú hề sinh nhật Trang trí YEAR END PARTY công ty Trang trí tất niên cuối năm Trang trí tất niên xu hướng mới nhất Trang trí sinh nhật bé trai Hải Đăng Trang trí sinh nhật bé Khánh Vân Trang trí sinh nhật Bích Ngân Trang trí sinh nhật bé Thanh Trang Thuê ông già Noel phát quà Biểu diễn xiếc khỉ Xiếc quay đĩa
Thiết kế website Thiết kế website Thiết kế website Cách kháng tài khoản quảng cáo Mua bán Fanpage Facebook Dịch vụ SEO Tổ chức sinh nhật