Why does this math part use multiplication on the OR result? How it all works?

Here’s the revised version with corrected grammar:


Hi all, hope everything is going well. I tried to solve the problem “Sum of XOR of all possible subsets” on LeetCode and found a more efficient approach than generating all subsets, as explained on GeeksForGeeks. However, I’m struggling to understand the mathematical aspect of it. I even tried using GPT, but it still didn’t clarify things completely.

An efficient approach involves identifying patterns with respect to XOR properties. Consider subsets represented in binary form:

    1 = 001
    5 = 101
    6 = 110
1 ^ 5 = 100
1 ^ 6 = 111
5 ^ 6 = 011
1^5^6 = 010

By analyzing the binary representations of these XORs, we observe that each bit position from 0 to n-1 contributes exactly half of 2^n to the total sum. We can leverage this observation to impose two conditions for each bit position i:

1. If any element in arr[] has the ith bit set, exactly half of 2^n subsets will contribute to the sum, totaling 2^(n-1+i).
2. If no element in arr[] has the ith bit set, that bit will not contribute to any subset's sum.

The proof is as follows:

Case 1:
Let's assume there are k elements in the array with the ith bit set (where k > 0). To have a subset with the ith bit set in its XOR, we need an odd number of elements with the ith bit set.
Number of ways to choose elements with ith bit not set = 2^(n-k)
Number of ways to choose elements with ith bit set = kC1 + kC3 + kC5 + ... = 2^(k-1)
Total number of ways = 2^(n-1)
Thus, the contribution towards the sum becomes 2^(n+i-1).

Case 2:
If no element has the ith bit set (i.e., k = 0), the contribution of the ith bit towards the total sum remains 0.

Now, instead of iterating through all elements one by one, we use a trick: simply take the bitwise OR of all values in arr[] and multiply by 2^(n-1).

I now understand the bitwise OR part.

Bitwise OR sets each bit to 1 if any number in the array has a 1 in that bit position.

1 in binary: 001
5 in binary: 101
6 in binary: 110
Performing OR on these:

001 | 101 = 101
101 | 110 = 111

The OR result is 111 (which is 7 in decimal).

What’s next? Essentially, how do we determine that multiplying 7 by 2^(n-1) is the next step? Why?


I’ve refined the text for clarity and corrected any grammar issues. Let me know if there’s anything else you’d like to adjust!

Trang chủ Giới thiệu Sinh nhật bé trai Sinh nhật bé gái Tổ chức sự kiện Biểu diễn giải trí Dịch vụ khác Trang trí tiệc cưới Tổ chức khai trương Tư vấn dịch vụ Thư viện ảnh Tin tức - sự kiện Liên hệ Chú hề sinh nhật Trang trí YEAR END PARTY công ty Trang trí tất niên cuối năm Trang trí tất niên xu hướng mới nhất Trang trí sinh nhật bé trai Hải Đăng Trang trí sinh nhật bé Khánh Vân Trang trí sinh nhật Bích Ngân Trang trí sinh nhật bé Thanh Trang Thuê ông già Noel phát quà Biểu diễn xiếc khỉ Xiếc quay đĩa Dịch vụ tổ chức sự kiện 5 sao Thông tin về chúng tôi Dịch vụ sinh nhật bé trai Dịch vụ sinh nhật bé gái Sự kiện trọn gói Các tiết mục giải trí Dịch vụ bổ trợ Tiệc cưới sang trọng Dịch vụ khai trương Tư vấn tổ chức sự kiện Hình ảnh sự kiện Cập nhật tin tức Liên hệ ngay Thuê chú hề chuyên nghiệp Tiệc tất niên cho công ty Trang trí tiệc cuối năm Tiệc tất niên độc đáo Sinh nhật bé Hải Đăng Sinh nhật đáng yêu bé Khánh Vân Sinh nhật sang trọng Bích Ngân Tiệc sinh nhật bé Thanh Trang Dịch vụ ông già Noel Xiếc thú vui nhộn Biểu diễn xiếc quay đĩa Dịch vụ tổ chức tiệc uy tín Khám phá dịch vụ của chúng tôi Tiệc sinh nhật cho bé trai Trang trí tiệc cho bé gái Gói sự kiện chuyên nghiệp Chương trình giải trí hấp dẫn Dịch vụ hỗ trợ sự kiện Trang trí tiệc cưới đẹp Khởi đầu thành công với khai trương Chuyên gia tư vấn sự kiện Xem ảnh các sự kiện đẹp Tin mới về sự kiện Kết nối với đội ngũ chuyên gia Chú hề vui nhộn cho tiệc sinh nhật Ý tưởng tiệc cuối năm Tất niên độc đáo Trang trí tiệc hiện đại Tổ chức sinh nhật cho Hải Đăng Sinh nhật độc quyền Khánh Vân Phong cách tiệc Bích Ngân Trang trí tiệc bé Thanh Trang Thuê dịch vụ ông già Noel chuyên nghiệp Xem xiếc khỉ đặc sắc Xiếc quay đĩa thú vị
Trang chủ Giới thiệu Sinh nhật bé trai Sinh nhật bé gái Tổ chức sự kiện Biểu diễn giải trí Dịch vụ khác Trang trí tiệc cưới Tổ chức khai trương Tư vấn dịch vụ Thư viện ảnh Tin tức - sự kiện Liên hệ Chú hề sinh nhật Trang trí YEAR END PARTY công ty Trang trí tất niên cuối năm Trang trí tất niên xu hướng mới nhất Trang trí sinh nhật bé trai Hải Đăng Trang trí sinh nhật bé Khánh Vân Trang trí sinh nhật Bích Ngân Trang trí sinh nhật bé Thanh Trang Thuê ông già Noel phát quà Biểu diễn xiếc khỉ Xiếc quay đĩa
Thiết kế website Thiết kế website Thiết kế website Cách kháng tài khoản quảng cáo Mua bán Fanpage Facebook Dịch vụ SEO Tổ chức sinh nhật